De 1963 a 1965 frequentou, em Paris, a Universidade do Teatro das Nações (Université du Théâtre des Nations / Institut International du Théâtre).
Criou e dirigiu a revista Teatro em Movimento (Lisboa, 1973-1975), que, entre variada colaboração, publicou textos dramáticos integrais de Jacques Audiberti, Henry de Montherlant, Pirandello, Miguel Barbosa, Tankred Dorst e Strindberg.
Chefiou, durante quatro anos, a Divisão de Teatro da Secretaria de Estado da Cultura. Abandonou o cargo em 1978, a fim de dedicar-se mais intensamente ao seu trabalho de escritor, de que resultou a escrita de três dezenas de peças teatrais, três romances (dois deles ainda inéditos) e um livro de poemas.
Traduziu obras de Jan Kott, William Shakespeare, Tennessee Williams, Arthur Miller, Jacques Audiberti, Friedrich Schiller, Junji Kinoshita, Ramón María del Valle-Inclán, Rainer Werner Fassbinder, Eduardo Blanco Amor, José Zorrilla e Liliane Wouters. Adaptou à cena o romance O Bobo de Alexandre Herculano e, para marionetas, a obra D. Quixote e Sancho Pança de António José da Silva.
Dirigiu para a RTP (1.º Canal), a partir de Novembro de 1981, uma série de programas quinzenais
dedicados à actividade teatral portuguesa, com o título de Fila
As obras dramáticas de Norberto Ávila, em grande maioria publicadas, têm sido representadas em teatros profissionais portugueses como o Teatro Monumental e Teatro da Trindade (Lisboa), Marionetas de Lisboa, Teatro Experimental de Cascais, Teatro Animação de Setúbal, Teatro Experimental do Porto, Teatro de Portalegre, Teatro A Oficina (Guimarães) e Centro Dramático de Évora, por exemplo, além de muitos grupos de teatro amador. As suas obras foram ainda encenadas em teatros da Alemanha, Áustria, Bélgica, Coreia do Sul, Croácia, Eslovénia, Espanha, França, Holanda, Itália, República Checa, Roménia, Sérvia e Suíça.
Em 2009, a Imprensa Nacional - Casa da Moeda publicou a colectânea Algum Teatro (20 peças de Norberto Ávila, em 4 volumes), cuja ordenação cronológica permite avaliar facilmente a evolução temática e estética do autor, umas vezes interessado em ficções dramáticas de fundo histórico, outras, na recriação dos grandes mitos (sejam eles da Grécia clássica ou da literatura ibérica), na elaboração de um teatro de inspiração popular ou de crítica social ou empenhamento político, ou mesmo de incitamento à evasão e à fantasia.
No dizer de Luiz Francisco Rebello (sem dúvida o mais autorizado especialista do teatro português): "Pela diversidade e riqueza dos temas dramatizados, pela variedade e adequação dos modelos estruturantes, pelo saber oficinal, pela capacidade inventiva do jogo cénico, pela sábia dosagem do real e do fantástico, do humor e da emoção, do erudito e do popular, e pela articulação perfeita de tudo isto, a obra de Norberto Ávila, já internacionalmente consagrada, ocupa um lugar ímpar no quadro da dramaturgia portuguesa contemporânea."
Embora outras peças do autor (como A Ilha do Rei Sono e O Marido Ausente) tenham tido oportunidade cénica em vários países, é incontestável que As Histórias de Hakim, cujo número de encenações rondará a centena, continua a ocupar um lugar de privilégio na audiência nacional e internacional. Já em Agosto de 1978, sendo promissora a carreira de As Histórias de Hakim, a prestigiada revista mensal Theater Heute (de Hanôver) dedicava-lhe, e ao seu autor, grande parte de um dos seus números: reedição integral do texto dramático, complementada com artigos sobre encenações da obra em países de língua alemã, entrevista com o escritor, com dados bibliográficos e imagens de montagens em diversos teatros.
Em 2008, a Sociedade Portuguesa de Autores prestou-lhe homenagem com a sua Medalha de Honra. Em 2010, ano em que se completaram os 50 anos da estreia de Norberto Ávila como dramaturgo representado, a Assembleia Legislativa dos Açores decidiu atribuir-lhe, nas celebrações do Dia dos Açores, a Insígnia Autonómica de Reconhecimento.